思い出したように初期幾何学講座

関連：http://www.doblog.com/weblog/myblog/74795/306#306


以前書いた話のおさらいから。

・平面上の図形について言及するのが、ユークリッド幾何学。
・曲面上の図形について言及するのが、非ユークリッド幾何学。

今日はまた非ユークリッド幾何学のお話。


球面幾何学に代表される非ユークリッド幾何学には面白い特性があって、代表的で面白いものを以下に挙げてみる。

1.三角形の内角の和が180度を超える。
2.二角が同角度の相似な三角形は描けず、必ず合同となる。
3.平行線は描けない。

1.については、以前書いた話ですね。
例えば真球の場合は三角形の内角の和は最大270度となります。


2.についてですが、まず相似とは何か。
相似とは、簡単に言えば「形が同じで大きさだけが違うもの」です。
平面上にこのような図形を書くのは全く容易にできます。二辺が10cmの直角二等辺三角形の相似な図形ならば、例えば二辺が5cmの直角二等辺三角形を描けばいいだけです。残りの角度は、どちらも45度づつですね。

では非ユークリッド幾何学ではどうなるでしょうか。
最初の例のように二辺10cmの直角二等辺三角形（仮にα）を描いたとして、その半分の二辺5cmの直角二等辺三角形（仮にβ）を描いても、残りの二角の大きさはα＞βとなります。
※具体的な数値は曲率により変動するので割愛※
つまり角度が違うので相似には成り得ない。
そしてこのα＞βの差は、二辺を伸ばしていけば縮まっていきます。
では二辺をどんどん伸ばしていって残り二角の大きさがα＝βとなるポイントを探っていくと、結局二辺10cmというところになってしまう。そうなると、大きさ・形ともにαとまったく同じですね。
つまりαとβは合同の図形になり、相似は作れないことになる。


3.については・・・なんかもう十分長くなった気がするので延期ということで。
これ以上書いても読み飛ばされそうな気がしてきた。

ではまた。