思い出したように初期幾何学講座

関連：http://www.doblog.com/weblog/myblog/74795/306#306


以前書いた話のおさらいから。

・平面上の図形について言及するのが、ユークリッド幾何学。
・曲面上の図形について言及するのが、非ユークリッド幾何学。

今日はまた非ユークリッド幾何学のお話。


球面幾何学に代表される非ユークリッド幾何学には面白い特性があって、代表的で面白いものを以下に挙げてみる。

1.三角形の内角の和が180度を超える。
2.二角が同角度の相似な三角形は描けず、必ず合同となる。
3.平行線は描けない。

1.については、以前書いた話ですね。
例えば真球の場合は三角形の内角の和は最大270度となります。


2.についてですが、まず相似とは何か。
相似とは、簡単に言えば「形が同じで大きさだけが違うもの」です。
平面上にこのような図形を書くのは全く容易にできます。二辺が10cmの直角二等辺三角形の相似な図形ならば、例えば二辺が5cmの直角二等辺三角形を描けばいいだけです。残りの角度は、どちらも45度づつですね。

では非ユークリッド幾何学ではどうなるでしょうか。
最初の例のように二辺10cmの直角二等辺三角形（仮にα）を描いたとして、その半分の二辺5cmの直角二等辺三角形（仮にβ）を描いても、残りの二角の大きさはα＞βとなります。
※具体的な数値は曲率により変動するので割愛※
つまり角度が違うので相似には成り得ない。
そしてこのα＞βの差は、二辺を伸ばしていけば縮まっていきます。
では二辺をどんどん伸ばしていって残り二角の大きさがα＝βとなるポイントを探っていくと、結局二辺10cmというところになってしまう。そうなると、大きさ・形ともにαとまったく同じですね。
つまりαとβは合同の図形になり、相似は作れないことになる。


3.については・・・なんかもう十分長くなった気がするので延期ということで。
これ以上書いても読み飛ばされそうな気がしてきた。

ではまた。

まさかの連日更新

引越し屋が大忙しな今の時期、弊社内にも引越しする人がいまして。
なんでも一人暮らしから実家暮らしに逆走するらしい。


同僚「でもさー、実家だと親が勝手に部屋に入ってくんだよね。あれどうにかなんねーか？」

私　「私に言われましても」

同僚「俺個人としては、プライバシー保護は大切だと思うわけよ」

私　「じゃあ、ドアに紙切れ挟んだり蝶番にシャープペンの芯を噛ませたり、無駄に引き出しを二重底にしてガソリン仕込んで発火するようにすればいいのでは？」

同僚「何ノートだよ」

私　「ノートじゃないけど、隠すのは似たようなモノでしょ」

同僚「・・・・・・」
私　「・・・・・・」

同僚「何の為に？」
私　「念の為に」

同僚・私「わははははは」
上司「？」


阿吽の呼吸の馬鹿二人。
計画通り。

質量とエネルギーの等価性

ここにきて二日連続更新なんて誰も想像してないと思われるので、あえてやる事にする。


昨日の記事であるところの「面積が重量によって耐えられなくなる」という現象を、もっと判りやすく一般的に例えられないかと考えたところ、いい例があった。

誰もが子供の頃二～三度は考える、「バケツでプリンを作る」という事象。
これ実際にやってみると、バケツから取り出してもプッチンプリンみたく綺麗な台形にはならず、べちゃっと潰れるどころか下手すると崩壊してしまいます。

なぜこんな事になるかというと、質量という名のエネルギーを受け止めるプリンの床側面積がエネルギーを受け止めきれず、漏れ出したエネルギーがプリン全体に及んでしまうからです。
プリンだったら粉の量でも変えて粘性を高めてやれば、余剰エネルギーを受け止める事が出来るでしょう。
でも人間の筋肉はそうはいかないわけで。破綻、というわけ。



って書いてたら久々にプリン食べたくなってきた。
明日買ってこようと思います。

二乗三乗の法則

非常に「な、な、な、何か書かねば！」という気になったので、ちょっと書く事にする。
といっても無駄知識っぽい話ですが。


人間がレイアウトそのままでウルトラマンのように巨大化したら、おそらく自重で立てなくなるだろうと言われています。
なぜかというと、以下のような計算が大前提としてあるから。

・体積（＝体重）は身長の倍率の三乗に比例する。
・面積は身長の倍率の二乗に比例する。

これを踏まえた上で例を出すと、例えば170cm・60kgの人が身長2倍の340cmになったとすれば、体重は二の三乗ですから8倍の480kgになります。
じゃあその480kgを何が支えるのかというと、当然筋力なわけで。
最大筋力は筋肉の断面積に比例するので、身長2倍の場合は断面積は二の二乗となり4倍のパワーが出せる事になる。

パッと聞いた限りでは特に問題はなさそうに思えるかもしれませんが、よくよく考えると8倍になった体重を4倍パワーになった筋力で支えなきゃいけないわけで、170cm・60kgの時に比べて筋肉には2倍の負荷がかかってるわけです。
さらに身長が3倍で計算すると体重27倍の筋力9倍で負荷3倍、身長4倍だと体重64倍の筋力16倍で負荷4倍と、大きくなればなるほど過負荷で破綻傾向となってしまうわけ。

まぁ今から地球重力が4倍になったらと想像したら、そりゃ立ってられないわという気はする。
下半身が筋肉で激太りして三角形みたいな体型になったら、話は別かもしれませんが。